Sistemas de ecuaciones - Introducción

Método gráfico

FORMAS DE RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES

1º.Eliminación por adición o sustracción:
Para resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminaciòn por suma o resta.


a)Se multiplican los miembros de las ecuaciones, o de ambas,por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.


b)Se suman las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y restense si son del mismo signo.


c)Se resuelve la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.


d)Se sustituye el valor en una de las ecuaciones dadas y se resuelve;se obtiene así la otra incógnita.


Ejemplo:Se resuelve el sistema:
x-3y=9.................................(1),
2x+y=-10.............................(2).


Solución:
Se mutiplica ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:
2x+6y=18.............................(3).

Se resta miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":
-7y=28,
se obtiene: y=-4


Se sustituye "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despejese a "x":
x-3y=9
x-3(-4)=9
x+12=9
x=-3;


por tanto : x=-3; y=-4.


2º.Eliminación por igualación:


a)Se despeja, en cada ecuación, la incógnita se requiere eliminar.


b)Se igualan las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.
c)Se resuelve la ecuación que resulta, con la cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d)Se sustituye el valor hallado en una de las expresiones que representan el valor de la otra incógnita, y se resuelve.


Ejemplo:Se resuelve el sistema:
x+2y=22.............................(1),
4x-y=7................................(2).


Se va eliminar "x".Despeje el valor en (1) y (2);se tiene:
x=22-2y...............................(3),
x=(7+y)/4.............................(4).


Se igualan las dos expresiones que representan el valor de "x":
22-2y=(7+y)/4


Desé forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuelvase:
88-8y=7+y
-9y=-81
y=9


Sustituye en (3) o en (4) el valor hallado para "y":
x=22-2y.................................(3)
x=22-2(9)
x=4


por tanto: x=4; y=9.


3º.Eliminacion por sustitución.


a)Se despeja la incógnita en una de las ecuaciones.
b)Se sustituye la expresión que representa su valor en la otra ecuación.
c)Se resuelve la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.
d)Se sustituye el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuelvase la ecuación resultante.


Ejemplo:Se resuelve el sistema:
3x+y=22....................................(1),
4x-3y=-1...................................(2).


Se va eliminar "x".Despejese el valor de "x" en (1):
3x=22-y
x=(22-y)/3.................................(3).


Se sustituye (3) en (2):
4[(22-y)/3]-3y=-1
4(22-y)-9y=-3
88-4y-9y=-3
-13y=-91
y=7.


Se sustituye en (3) el valor hallado para "y".
x=(22-y)/3..................................(3).
x=(22-7)/3
x=5


por tanto: x=5; y=7.

ECUACIÓN (SU SIGNIFICADO)

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verrifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto:
x, y, z, u, v
Así,                                5x+2=17
es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incognita, la x, y esta igualdad sólo se verifica, o sea que sólo es verdadera, para el valor x=3. En efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos:
5(3)+2=17. o sea: 17=17.
Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.
La igualdad y2 - 5y=-6 es una ecuación porque es una igualdad que sólo se verifica para y=2 e y=3. En efecto, sustituyendo la y por 2, tenemos:
2(2)-5(2)=-6
4-10=-6
-6=-6

SISTEMA DE ECUACIONES:

Es la reunión de dos o más ecuacionás incógnitas.
Así:                
 2x+3y=13
 4x-y=5
es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incognitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.La solución del sistema anterior es x=2, y=3.
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solucion y es imposible o incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SILMUTANEAS DE PRIMER GRADO CON INCOGNITAS

RESOLUCIÓN
para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuacioens dadas una sola eacuación con una incognita. Esta operación se llama Eliminación.

METODOS DE ELIMINACIÓN MAS USUALES
Son tres:  Método de igualación de comparación y de reducción, tambien llamado este último de suma o resta. 

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

A continuación, se expone un método algebraico para resolver un sistema, denominado método de sustitución. Este método se basa en el axioma de sustitución para la igualdad, el cual garantiza que cualquier cantidad puede ser sustituida por su igual.

EJEMPLO:

Resolver por el método de sustitución

2x-y=-6
5x+2y=3

Puede procederse a despejar una de las dos variables en cualquiera de las dos ecuaciones; sin embargo, es posible evitar fracciones si se despeja "y" en la primera ecuación.

y=2x+6

Se sustituye "y" por 2x+6 en la segunda ecuación.

5x+2(2x+6)=3
  5x+4x+12=3
        9x+12=3
             9x=-9
               x=-1

Se sustituye "x" por -1en la primera ecuación.

2(-1)-y=-6
     -2-y=-6
         -y=-4
            y=4

La solución es (-1,4) para comprobarlo se sustituyen x=-1 y y=4 en cada una de las ecuaciones originales.

        2x-y=-6
2(-1)-(-4)=-6
  (-2)-(-4)=-6

       5x+2y=3
 5(-1)+2(4)=3
          -5+8=3

METODO DE SUMA Y RESTA

En resumen este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones  por algún(os) número(s) de un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o de la y sean iguales pero de signo contrario.
A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita: consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sutituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

-Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario.

-se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

-para este paso hay dos opciones :
se repite el proceso con la otra incógnita.
se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.
A este método tambien se le conoce como método de reducción

Ejemplo:

4x+y=12
5x-y=13

4x+y=12
5x-y=13
8x  =  24

8x  =  24
 8         8

x=3

GRAFICO:

EJERCICIOS PARA REPASAR:

GLOSARIO:

BIBLIOGRAFÍA:

Para este blog se utilizaron las siguientes fuentes:

ALGEBRA Baldor Aurelio ALGEBRA A. DALDOR
Segunda edición , PUBLICACIONES CULTURAL Compania editora y distribuidora de textos Americanos, S.A (CCEDTA) 1983,580P

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